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Todo profesor a lo largo de su carrera docente se ha visto envuelto en la típica conversación con un alumno en la que este le regatea medio punto en un examen, ya que de ello depende pasar de un 4,5 a un aprobado. Revisando el examen y dándole mas vueltas que una noria, la nota sigue invariable, ya que la corrección es más que correcta.

El alumno vuelve a su sitio cabizbajo y renegando por lo bajo, pronuncia la típica frase que todos alguna vez hemos escuchado como profesores o incluso hemos llegado a decir como alumnos en nuestros tiempos mozos: “¡¡No me lo puedo creer, me ha tirado por medio punto!!”

Vamos a ir más allá, y es que lo que os propongo en este artículo es demostrar como, ya no medio punto, sino media decima de variación puede suponer un cambio más que considerable en los resultados obtenidos en cualquier situación real que se nos pueda presentar. Imaginemos la típica situación en la cual necesitamos comprar material escolar. Los protagonistas de nuestra compra serán los típicos cuadernos y bolígrafos que aparecen en cualquier problema de ecuaciones de cualquier libro de texto de la ESO.

La situación que se nos presenta es que en la tienda de barrio podemos encontrar los cuadernos a 2 euros cada uno y los bolígrafos de tinta de gel a 1 euro cada uno. Nuestro presupuesto total es de 10 euros. Pero resulta que mirando en internet podemos encontrar los mismos cuadernos a 2 euros cada uno y unos bolis de tinta de gel un poquito mejores a 1,10 euros cada uno. Podemos contar ahora con 10,40 euros de presupuesto, ya que hemos encontrado unas monedas entre los cojines del sofá del salón.

Ya tenemos todos los datos para plantear un precioso sistema de ecuaciones, llamando “x” al número de bolígrafos que vamos a comprar e “y” al número de cuadernos que queremos adquirir. La verdad es que no vamos a sufrir mucho para plantear el sistema de ecuaciones. Hay que reconocer que es fácil. Nos quedaría de la siguiente forma:

Una vez resuelto el sistema obtenemos que podemos comprar 4 bolígrafos de tinta de gel y 3 cuadernos. Si quieres ver la resolución gráfica también la tenemos por aquí:

Pero resulta que comienza la emisión en directo de nuestro profesor preferido de Youtube, en la que hoy nos explicará como resolver esas cuestiones que no han quedado claras en clase, y posponemos la compra del material que necesitamos para más tarde.

La sorpresa llega cuando volvemos a consultar el precio de los bolígrafos y los cuadernos y descubrimos que, aunque los cuadernos siguen costando 2 euros cada uno, los bolígrafos han bajado de precio. Ahora cada bolígrafo cuesta 5 céntimos de euro menos. Nuestro sistema de ecuaciones queda planteado ahora de la siguiente forma:

Antes de resolverlo ya estamos frotándonos las manos, ya que con esta bajada de precio de los bolígrafos podremos comprar probablemente más bolígrafos y los mismos cuadernos con el mismo presupuesto. Aunque también puede darse la circunstancia de que prácticamente no varíe el numero de bolígrafos que podamos comprar, ya que la diferencia de precio es mínima. En fin, vamos a resolver nuestro sistema y saldremos de dudas.

Y es en este punto donde llegamos a una situación más que sorprendente, ya que los resultados obtenidos son x = 8 e y = 1. No solo el resultado ha variado, sino que lo ha hecho más que considerablemente. Podremos comprar en esta nueva situación nada más y nada menos que 8 bolígrafos de tinta de gel y tan solo un cuaderno. Te dejamos la resolución grafica también a continuación:

 

También puedes observar lo que ocurre cuando quedan representadas las tres rectas en una misma gráfica. Se puede ver claramente la separación que hay entre los dos puntos.

Para que te hagas una idea de lo que ha sucedido, pinchando en el siguiente enlace tienes disponible la representación gráfica del sistema de ecuaciones utilizando Geogebra. Utiliza el deslizador y comprueba como se mueve el punto de corte de ambas rectas a medida que cambia el coeficiente de x en la segunda recta.

Gráfica con deslizador de un sistema mal condicionado

Como puedes observar, los puntos de corte están bastante más lejos de lo que en un principio podríamos pensar. La vida te da sorpresas, y las matemáticas y los sistemas de ecuaciones lineales también.

Fíjate en los cambios tan drásticos que se producen en los resultados obtenidos al resolver estos dos sistemas de ecuaciones lineales. Tan solo cambiando uno de los coeficientes 5 centésimas (o 5 céntimos de euro) llegamos a resultados muy distintos.

Este tipo de sistemas en los que una leve modificación de los coeficientes provoca una gran diferencia en las soluciones se denominan sistemas mal condicionados. Si quieres saber más sobre ellos, simplemente date una vuelta por nuestro amigo “Google” y descubrirás todo lo que se cuece sobre este tipo de sistemas. De momento, y si te apetece practicar con este tipo de sistemas, por aquí te dejo otra pareja de sistemas para que compruebes por ti mismo lo que ocurre al resolverlos.

¿Crees que este tipo de sistemas pueden tener repercusiones en aspectos prácticos de la ciencia o de la técnica, o incluso en el día a día? Si quieres comentarnos algo, o simplemente quieres decirnos que te ha gustado nuestro artículo, no dudes en dejar tu comentario.

 

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